¿Es una hormiga más fuerte que yo?

 

Muchas veces hemos escuchado, que el animal más fuerte, es la hormiga (o el escarabajo, o cualquier otro insecto). Nos dicen que la hormiga es capaz de levantar un objeto veinte veces más pesado que ella. El razonamiento es así de simple, una persona por ejemplo de 80 Kg debería ser capaz de levantar 80·20=1600 Kg para ser igual de fuerte que una hormiga en proporción. Los que hacen esta afirmación, no saben mucho de física. No saben que en los modelos a escala no se mantienen la misma proporción en todas las magnitudes físicas. Por ejemplo, imaginemos un cubo, de un determinado material. Si construimos otro cubo del mismo material a escala el doble, es decir, su arista es el doble que la del primer cubo, el peso de este cubo no es el doble del primero, sino que es ocho veces más pesado. Esto se entiende fácilmente, ya que caben ocho cubos pequeños en el cubo mayor. Vemos que el peso de un cuerpo aumenta con la escala al cubo. Es decir, si el cubo es el doble de arista, el cubo pesa 2·2·2=8 veces más, ya que su volumen es ocho veces mayor. Si el cubo es diez veces mayor, el peso es 10·10·10=1000 veces mayor. Se puede ver, que esta relación es cierta independientemente de la forma del objeto. No tiene por qué ser un cubo. La manera de generalizar el resultado a cualquier otra forma, es imaginarnos que descomponemos un objeto cualquiera en cubos, tan pequeños como nos sea necesario. Para cada cubo se cumple que su peso aumenta con el cubo de la escala, y por tanto, también para todo el cuerpo.

 

Una hormiga de medio centímetro, por ejemplo, es 350 veces más pequeña que una persona de 1.75 m. Por tanto, una persona tiene que soportar un peso 350·350·350=42.875.000 veces mayor que el que soporta la hormiga. La persona pesa 43 millones de veces (aproximadamente) más que una hormiga, por tanto, tiene que realizar una fuerza que le permita soportar su propio peso, de 43 millones de veces mayor. Pero sus músculos, al aumentar su tamaño, aumentan también la fuerza máxima que pueden desarrollar, pero no aumenta con el cubo de la escala, sino que lo hacen con el cuadrado. Esto quiere decir que, la fuerza que tendrá que realizar un animal para soportar su propio peso crece proporcional mente con la escala (exponente al cubo menos exponente al cuadrado). Así, una persona que es 350 veces mayor que una hormiga, tiene que realizar un fuerza 350 veces mayor que la hormiga.

 

Veamos por qué la fuerza crece con el cuadrado de la escala. Imaginemos que el cubo está apoyado sobre un pié, supongamos que es una columna cilíndrica colocada en el centro de la base de longitud L y sección S. Puesto que esta columna está soportando el peso del cubo, se habrá comprimido un poquito ΔL. Se verifica, según la ley de Hooke, que Peso=k•Δl, donde k es la constante elástica de la columna. Si ahora escalamos el cubo con su pata incluida, a un tamaño el doble, la constante k de la nueva columna de longitud el doble y diámetro el doble resulta ser el doble, ya que k=Y·S/L, “Y” es la constante de elasticidad del material, es una propiedad que sólo depende del material. Así que, al aumentar la columna al doble, “Y” sigue valiendo el mismo valor puesto que es del mismo material. Sin embargo, S aumenta cuatro veces, puesto que es S=π·R2, y al aumentar R al doble, S aumenta al cuádruple, y L aumenta simplemente al doble, por consiguiente el nuevo valor de k es el doble. La fuerza que realiza esta columna mayor cuando se comprime el doble (para guardar la proporción) resulta que es cuatro veces mayor que con el cubo pequeño (F=2k·2ΔL =4k·ΔL). Pero el peso ha aumentado ocho veces, luego esta fuerza no es capaz de sostener el cuerpo. Por lo tanto, para poder soportar el peso, la columna debe comprimirse más (en proporción) que el cubo a escala menor.

 

Así que, si fabricáramos un objeto mayor a escala de otro más pequeño, no serían realmente proporcionales, ya que el objeto mayor se comprimiría más para poder soportar su peso. En nuestro ejemplo, veríamos que el cubo mayor, tiene su pié más corto, debido a que está más comprimido.

 

Si en lugar de un cubo, tuviéramos un animal, y la columna fuera sus patas, estaríamos en la misma situación. La fuerza que ejercen sus patas al aumentar la escala (crece con el cuadrado de la escala), no es suficiente para soportar su peso (que crece con el cubo de la escala). Si un insecto, que tiene sus patas muy finas, lo escaláramos al tamaño nuestro, sus patas no serían capaces de soportar el peso del insecto. Necesitarían comprimirse mucho, lo que haría que se rompieran las patas al sobrepasar la fatiga elástica. Por eso, vemos en la naturaleza, que cuanto más grande es un animal, sus patas son más gruesas en proporción con su cuerpo. Fijémonos en las patas de un elefante. Sus patas no guardan la misma proporción que las de un perro.

 

En definitiva, puesto que las fuerzas que realizan nuestros músculos tienen su origen en las fuerzas elásticas, entonces crecen con el cuadrado de la escala. Sin embargo, el peso crece con el cubo de la escala. Así que, ser más grande es más fatigoso. Hace falta realizar más esfuerzos para poder existir. Si una hormiga es capaz de levantar un cuerpo veinte veces más pesado que ella, nosotros sin levantar ningún objeto, tenemos que realizar una fuerza 350 veces mayor para soportar nuestro peso. Y si una persona levanta un objeto tan pesado como ella, en proporción es 350/20=17.5 veces más pesado que lo que levanta una hormiga.