Trayectoria de la órbita de un planeta

 

Para ello, vamos a colocar un sistema de referencia centrado en el Sol tal y como se muestra en el dibujo.

Vamos a considerar que el Sol es infinitamente masivo. Así, podremos considerar el Sol fijo en el sistema de referencia inercial. En realidad, el Sol no es infinitamente masivo, pero sí es muchísimo más masivo que los planetas. Así que no es una mala aproximación. En realidad, el Sol tiene un pequeño movimiento alrededor del centro de masas del sistema solar, debido a que su masa es finita.

Para determinar el movimiento del planeta, tenemos que resolver la segunda ecuación de Newton.

Un puntito encima de una variable significa derivada con respecto al tiempo de esa variable, y si tiene dos puntitos, es una derivada segunda de esa variable con respecto al tiempo dos veces.

La fuerza la conocemos, es la descrita en la Ley de la Gravitación Universal de Newton.

Así que juntando las dos ecuaciones, tenemos que,

Como vemos, la masa del planeta se puede simplificar.

 

(1)     

 

Esto significa, que la trayectoria del planeta no depende de la masa que tenga.

Para poder resolver esta ecuación, tenemos que encontrar la expresión del segundo miembro en coordenadas polares. Así, del dibujo podemos determinar,

Derivamos con respecto al tiempo,

Si las dos últimas expresiones las multiplicamos escalarmente, vemos que sale cero. Luego estos dos vectores, son perpendiculares.

Si calculamos el módulo de “r unitario punto”, vemos que se obtiene lo siguiente:

Y no olvidemos que “theta punto” es la velocidad angular,

Podemos definir el vector “unitario theta”, como el vector “r unitario punto” (que es perpendicular al “vector unitario r”) con módulo uno. Así que,

Ahora vamos a derivar nuevamente con respecto al tiempo.

Por otro lado, sabemos que,

Derivando con respecto al tiempo,

Y volviendo a derivar con respecto al tiempo,

Es decir,

Por consiguiente, ya podemos escribir la ecuación (1) en coordenadas polares:

Igualando las coordenadas en r y en theta, obtenemos dos ecuaciones independientes ((2) y (3) respectivamente):

Vamos a resolver primero la ecuación (3).

que podemos escribirla como

dividimos entre "r multiplicando a omega".

Esta ecuación es fácilmente integrable. Se obtiene,

Tanto K' como K representan un valor constante.

Hemos obtenido un resultado muy importante, “r cuadrado por la velocidad angular” permanece constante a lo largo de todo el recorrido.

Vamos a ver, que este resultado no es ni más ni menos lo que se obtiene de aplicar el principio de conservación del momento cinético. Que se cumple puesto que el momento que aplica la fuerza gravitatoria es cero.

Es cero por ser dos vectores paralelos. Así que,

El movimiento se desarrolla en un plano, puesto que el momento cinético no cambia tampoco de dirección, y siempre es perpendicular a la velocidad.

Apliquemos la condición de que el momento cinético es constante.

Por tanto,

Que comparando esta expresión con el resultado anterior, obtenemos la misma expresión. Pero ahora conocemos el valor de la constante K.

Ahora vamos a resolver la ecuación (2).

Realizamos el siguiente cambio de variable,

Entonces “r punto” es,

Y “r dos puntos”,

Por tanto, la ecuación la podemos escribir ahora así:

Reescribiendo la ecuación, tenemos,

Que es una ecuación diferencial de 2º orden, cuya variable es uno partido por r.

Hallemos la solución de la ecuación homogénea.

Tanto A como B son dos constante que habrá que determinar. A esta solución homogénea hay que sumarle una solución particular. Vamos a encontrarla.

Por consiguiente, la solución general es:

Si despejamos r, tenemos:

Esto es la ecuación de una cónica. Supongamos que fuese una elipse. Tenemos dos constantes, A y B por determinar. Queremos que la elipse esté orientada según los ejes con el foco derecho centrado en el origen de coordenadas.

Entonces tenemos que para este caso,

Y puesto que queremos que esto ocurra cuando el angulo theta sea cero,

Ya tenemos una expresión más simple.

Comparemos con la ecuación de una cónica en coordenadas polares:

Tenemos que,

Pero aún tenemos una constante A por determinar. Para ello, vamos a hacer un estudio de la energía mecánica del planeta, que como sabemos se mantiene constante puesto que la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa.

Debemos tener en cuenta que,

Podemos escribir ahora,

Cuando el ángulo theta es cero, la fuerza gravitatoria es totalmente perpendicular a la trayectoria, por tanto, no hay aceleración tangencial, es decir, la fuerza no modifica el módulo de la velocidad en ese punto.

Así, particularizando la expresión de la energía en este punto,

Despejamos épsilon.

Podemos ahora relacionar las distintas cónicas como trayectorias, con la energía mecánica.

Ahora vamos a comparar las dos expresiones de épsilon que tenemos.

Y despejamos A2.

Y ya tenemos el valor de A.

La expresión final de la cónica en coordenadas polares es: